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Probabilidad, rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística. La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre. El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.
En estos casos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace:
La expresión anterior se suele expresar del siguiente modo:
La aplicación de la regla de Laplace en casos elementales es muy sencilla. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado:
pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos elementales y la experiencia admitía, en total, seis posibilidades.
Sin embargo, la aplicación de esta regla en experimentos más complejos requiere el uso de la combinatoria. Por ejemplo, al extraer tres cartas de una baraja y ver la probabilidad de que las tres sean tréboles, el número total de sucesos elementales es C523 = (52·51·50)/(3·2·1) = 22.100. Los casos favorables son C133= (13·12·11)/(3·2·1) = 286. Por tanto, la probabilidad pedida es:
La resolución de este tipo de problemas se simplifica notablemente si consideramos “sacar tres naipes” como una experiencia compuesta por tres experiencias simples: “sacar un naipe y después otro y después otro”.
El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se realiza multiplicando las probabilidades de los sucesos componentes.
Si las experiencias son independientes (el resultado de una no influye en las siguientes), entonces
Así, para calcular la probabilidad de que al tirar tres dados no se obtenga ningún 6 se procederá así:
Si las experiencias son dependientes (el resultado de cada una influye en las probabilidades de las siguientes), entonces
Así, para calcular la probabilidad de obtener tres tréboles al extraer tres cartas de una baraja, se procederá así:
Según se ha visto, la regla de Laplace sirve para calcular probabilidades de sucesos extraídos de experimentos ideales en los cuales se da por sentado que los distintos sucesos elementales son equiprobables. Sin embargo, la realidad no es así. Por ejemplo, en un dado real la probabilidad de que salga un 4 no es 1/6. Si el dado es muy perfecto, P[4] será, acaso, un número próximo a 1/6, pero no exactamente 1/6. En cualquier caso, se ignora cuál es el valor exacto de la probabilidad para cada dado en concreto. La forma de averiguar esos valores es mediante la ley de los grandes números. Esta ley afirma que la frecuencia relativa de un suceso, fr(S), cuando el número de experiencias se hace muy grande (tiende a infinito), se estabiliza en torno a un valor que es la probabilidad del suceso, P[S]. Esto se expresa, simbólicamente del siguiente modo:
Según esta ley, para averiguar la probabilidad de un suceso S, se debe realizar la experiencia reiteradamente y calcular la frecuencia relativa de S. Cuanto mayor sea el número de experiencias realizadas más fiable es la estimación de la probabilidad P[S] a partir de la frecuencia relativa fr(S). Las compañías de seguros evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (accidentes de coches, inundaciones, epidemias,…) mediante una minuciosa recopilación de datos (experiencias) que les permiten inferir dichas probabilidades con suficiente aproximación como para poder asignar las cuotas de manera justa.
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