Álgebra de Boole

Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos.

Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los símbolos Å y Ä. Estas operaciones están definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:

1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que

(x Å y) Å z = x Å (y Å z)

(x Ä y) Ä z = x Ä (y Ä z)

2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que

x Å y = y Å x

x Ä y = y Ä x

3. Cada una de las operaciones Å y Ä es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que

x Å (y Ä z) = (x Å y) Ä (x Å z)

y que

x Ä (y Å z) = (x Ä y) Å (x Ä z)

4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones Å y Ä. Estos elementos se representan habitualmente con los símbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que

0 Å x = x

1 Ä x = x

para cualquier elemento x del conjunto B.

5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se representa con el símbolo x′. El elemento x′ cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones Å y Ä:

x Å x′ = 0

x Ä x′ = 1

Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que la describió en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento.

Las dos operaciones Å y Ä se pueden representar con otra pareja cualquiera de símbolos; +, Ú y È se utilizan a veces en vez de Å; ×, ^, Ç, ·, en vez de Ä.

Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X. P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unión (È) y la intersección (Ç) de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad, cualquier álgebra de Boole se puede representar como un álgebra de conjuntos (véase Teoría de conjuntos).

Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del álgebra de Boole es también verdadera si se intercambian las operaciones Å y Ä y los elementos neutros 1 y 0 en la proposición. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de Morgan, que dicen que

(x Å y)′ = x′ Ä y′

y que

(x Ä y)′ = x′ Å y′

Los elementos que forman el conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o redes eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una colección de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas. Las operaciones eran, esencialmente, la disyunción y la conjunción, que se escriben con los símbolos Ú y ^ respectivamente. Si x e y representan dos proposiciones, entonces la expresión x Ú y (leída 'x o y') es verdadera si y sólo si o x o y o ambas son verdaderas. La proposición x ^ y (leída 'x e y') es verdadera si y sólo si ambas son verdaderas. En esta álgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposición es simplemente la negación de la proposición.

Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmación 'la bola es azul', y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas azules. P es el conjunto verdad de la proposición p. De esta manera, si P y Q son los conjuntos verdad de las proposiciones p y q, entonces el conjunto verdad de la proposición p Ú q es claramente P È Q y para p ^ q el conjunto verdad es P Ç Q.

El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas, especialmente en la informática y en la electrónica. A continuación se expone un ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo). Si cada una de las proposiciones p y q se asocia con un interruptor que está cerrado si la afirmación es verdadera y abierto si es falsa, entonces la proposición p ^ q se representa en el circuito conectando los interruptores en serie. La corriente circulará por este circuito si y sólo si ambos interruptores están cerrados, esto es, si ambas p y q son verdaderas. De la misma manera, otro circuito se puede usar para representar p Ú q. En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más complejas darán lugar a circuitos más complicados.