Progresión geométrica

Progresión geométrica, en matemáticas, sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, y, ‚, ˆ, w, , ... (y)ⁱ, es una progresión geométrica con razón y. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como

y una progresión geométrica infinita como

En general, si el término enésimo de una progresión geométrica es a_n, se deduce de la definición que

Si el símbolo S_n representa la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, se puede comprobar que

Los términos de una progresión geométrica entre a_i, y a_j, con i < j, se denominan medias geométricas. La media geométrica de dos números positivos x e y es la media proporcional de dichos números Ë. En cualquier progresión geométrica, a_n es la media geométrica o proporcional de a_n-1 y a_{n+ 1}.

La suma formal de los términos de una progresión geométrica, escrita como

se denomina serie geométrica (véase Series y sucesiones). Al estudiar esta serie, se comprueba que converge si y sólo si el valor absoluto de la razón es menor que 1; si esto no ocurre, la serie diverge. Si la serie converge, el límite S es igual a

El símbolo se lee como 'límite de S_n cuando n tiende hacia infinito'.

Las series y progresiones geométricas tienen muchas aplicaciones en las ciencias físicas, biológicas y sociales, y también en cálculos bancarios y financieros. Muchos problemas de interés compuesto y anualidades se resuelven utilizando estos conceptos.

Véase también Progresión aritmética.