Trigonometría

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Introducción

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.

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Trigonometría plana

Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.

2.1

Razones trigonométricas de ángulos agudos

La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.

En un ángulo a de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de a, y se escribe sen a, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:

Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental:

• (sen a)² + (cos a)² = 1

En vez de (sen a)² se acostumbra a escribir sen² a, y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:

• sen² a + cos² a = 1

Las razones sen a, cos a y tg a se relacionan entre sí del siguiente modo:

2.2

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:

El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P, cuyas coordenadas son c = cos a y s = sen a. Es decir, P(cos a, sen a). La tg a= t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.

Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo a. En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:

Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r.

Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que las de los ángulos agudos:

sen2 a + cos2 a = 1