Ecuación diferencial

Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = f(x), y al menos una de sus derivadas. La primera derivada de una función y = f(x), o derivada de primer orden, f’(x), es la velocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la función se representa gráficamente, la primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda derivada, o derivada de segundo orden, f’’(x), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles.

Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, denotada por dⁿy/dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto,

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d²y/dx² es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica) afirma que

Si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d²y/dx² = F = mg, por lo que

Como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es

Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables.