Aplicación (matemáticas)

Aplicación (matemáticas), operación matemática que establece una correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que a todo elemento del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada (véase Teoría de conjuntos).

Consideremos una aplicación de un conjunto de partida E en un conjunto de llegada F. Esta aplicación asocia a un elemento x del conjunto E un elemento y del conjunto F. El elemento y se denomina imagen del elemento x, mientras que el elemento x se llama antecedente del elemento y.

Las aplicaciones inyectivas, o inyecciones, son aquéllas en las que todo elemento del conjunto de llegada F tiene como máximo un antecedente en el conjunto de partida E. En otras palabras, una aplicación no es inyectiva si existen al menos dos elementos de E distintos que tienen la misma imagen en F.

Una aplicación suprayectiva, o sobreyección, es aquélla en la que todo elemento de llegada F tiene al menos un antecedente en el conjunto de partida E.

Una aplicación se llama aplicación biyectiva o biyección cuando es a la vez inyectiva y suprayectiva. A menudo, el concepto de aplicación se confunde con el de función. A diferencia de una aplicación, no todos los elementos del conjunto de partida de una función tienen necesariamente una imagen en el conjunto de llegada. Por ejemplo, la correspondencia que asocia a un número su cuadrado es una aplicación; sin embargo, la que asocia a un número su inversa no es una aplicación porque 0 no tiene imagen.

El concepto de aplicación aparece en todos los ámbitos de las matemáticas. La designación de la variable depende del conjunto de partida.

En análisis, la variable se designa a menudo por x. Una aplicación f de un conjunto A en un conjunto B se designa del modo siguiente:

En geometría, las traslaciones son ejemplos de aplicación. La aplicación idéntica es una aplicación en la que todo elemento tiene por imagen a sí mismo.